(2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]) 设 $\sigma,\tau$ 为线性变换, 且 $\sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值. 证明: 若 $\sigma\tau=\tau\sigma$, 则 $\tau$ 可由 $I$, $\sigma$, $\sigma^2$, $\cdots$, $\sigma^{n-1}$ 线性表出, 其中 $I$ 为恒等变换.

证明: 设 $\sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lm_1,\cdots,\lm_n$, 相应的特征向量为 ${\bf \varepsilon}_1,\cdots,{\bf \varepsilon}_n$. 则 ${\bf \varepsilon}_1,\cdots,{\bf \varepsilon}_n$ 线性无关. 又由 $\sigma\tau=\tau\sigma$ 知 $$\bex \sigma\tau({\bf \varepsilon}_i)=\tau\sigma({\bf \varepsilon}_i)=\lm_i\tau({\bf \varepsilon}_i). \eex$$ 于是 $\tau({\bf \varepsilon}_i)$ 要么为 ${\bf 0}$, 要么为 $\sigma$ 属于 $\lm_i$ 的特征向量. 总之, 我们有 $$\bex \tau({\bf \varepsilon}_i)=k_i{\bf \varepsilon}_i. \eex$$ 注意到线性方程组 $$\bex \sex{\ba{cccc} 1&\lm_1&\cdots&\lm_1^{n-1}\\ 1&\lm_2&\cdots&\lm_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&\lm_n&\cdots&\lm_n^{n-1} \ea}\sex{\ba{c} a_0\\ a_1\\ \vdots\\ a_{n-1} \ea} =\sex{\ba{c} k_1\\ k_2\\ \vdots\\ k_n \ea} \eex$$ 有唯一解 $a_i=l_i,\ 0\leq i\leq n-1$. 而 $$\beex \bea \tau({\bf \varepsilon}_i)&=k_i{\bf \varepsilon}_i\\ &=\sez{\sum_{j=0}^{n-1}l_j\lm_i^j}{\bf \varepsilon}_i\\ &=\sum_{j=0}^{n-1} l_j\sigma^j({\bf \varepsilon}_i),\quad \forall\ i. \eea \eeex$$ 于是 $$\bex \tau=\sum_{j=0}^{n-1} l_j\sigma^j. \eex$$ \esh